Hi kvadrat test (preizkus χ², angleško chi-square test) preveri, ali sta dve kategorialni spremenljivki povezani, na primer spol in način prihoda na fakulteto. Opazovane frekvence v kontingenčni tabeli primerja s frekvencami, ki bi jih pričakoval, če povezave ne bi bilo. Uporabljaš ga za števila enot po kategorijah, ne za povprečja. V preračunanem primeru spodaj je χ² = 8,87 pri 2 stopinjah prostosti in p = 0,012.
Test lahko izračunaš tudi v brezplačnem kalkulatorju hi kvadrat: vpišeš tabelo in dobiš χ², vrednost p, Cramérjev V, pričakovane frekvence in stavek za nalogo. Odpre se s primerom iz tega članka.
Kdaj uporabiš hi kvadrat test
McHugh (2013) opiše hi kvadrat kot neparametričen preizkus za skupine, kadar je odvisna spremenljivka merjena na nominalni ravni. Test ne predpostavlja normalne porazdelitve podatkov. Pogoji, ki jih navede:
- podatki v celicah so frekvence, torej števila enot, ne odstotki,
- kategorije so izključujoče: posamezna enota sodi v natanko eno kategorijo vsake spremenljivke,
- vsaka enota prispeva podatek le v eno celico, zato testa ne uporabljaš za iste ljudi, merjene večkrat,
- skupine so neodvisne, torej ne gre za parne vzorce,
- pričakovane frekvence so v vsaj 80 % celic 5 ali več in v nobeni celici manj kot 1,
- podatki naj bi bili iz slučajnega izbora. McHugh opozori, da se test pogosto uporablja tudi na priložnostnih vzorcih, in doda, da bi bilo v tem primeru treba rezultat potrditi s ponovitvami raziskave.
Poznamo dve vrsti preizkusa. Preizkus neodvisnosti preveri povezanost dveh spremenljivk. Preizkus prileganja (angleško goodness-of-fit) preveri, ali se porazdelitev v vzorcu ujema z znano ali pričakovano porazdelitvijo (NIST). Obe uporabljata isto statistiko.
Odgovore na Likertovi lestvici nekateri avtorji obravnavajo kot kategorije in zanje uporabljajo neparametrične teste, med njimi hi kvadrat; več o tem je v članku o Likertovi lestvici.
Hipotezi
Ničelna hipoteza pravi, da med spremenljivkama ni povezave. Alternativna pravi, da povezava je (tako ju v slovenskem učnem gradivu zapiše tudi Farmacevtska fakulteta UL). Kako zapišeš svoji hipotezi, je razloženo v članku o hipotezah in raziskovalnih vprašanjih.
Preračunan primer korak za korakom
Izmišljen primer: med 200 študenti (100 žensk in 100 moških) izmišljene fakultete te zanima, ali sta spol in način prihoda na fakulteto povezana.
1. Opazovane frekvence (kontingenčna tabela 2 × 3):
| Javni prevoz | Avto | Peš ali kolo | Skupaj | |
|---|---|---|---|---|
| Ženske | 46 | 30 | 24 | 100 |
| Moški | 26 | 44 | 30 | 100 |
| Skupaj | 72 | 74 | 54 | 200 |
2. Pričakovane frekvence. Za vsako celico pomnožiš vsoto vrstice z vsoto stolpca in deliš s skupnim številom (McHugh): za žensko in javni prevoz 100 · 72 / 200 = 36. Vse pričakovane frekvence so:
| Javni prevoz | Avto | Peš ali kolo | |
|---|---|---|---|
| Ženske | 36 | 37 | 27 |
| Moški | 36 | 37 | 27 |
Najmanjša pričakovana frekvenca je 27, pogoj iz prejšnjega poglavja je izpolnjen.
3. Prispevek vsake celice (O − E)² / E, kjer je O opazovana in E pričakovana frekvenca:
| Javni prevoz | Avto | Peš ali kolo | |
|---|---|---|---|
| Ženske | (46 − 36)² / 36 = 2,78 | (30 − 37)² / 37 = 1,32 | (24 − 27)² / 27 = 0,33 |
| Moški | (26 − 36)² / 36 = 2,78 | (44 − 37)² / 37 = 1,32 | (30 − 27)² / 27 = 0,33 |
4. Seštej: χ² = 2,78 + 1,32 + 0,33 + 2,78 + 1,32 + 0,33 = 8,87.
5. Stopinje prostosti (angleško degrees of freedom): (število vrstic − 1) · (število stolpcev − 1) = (2 − 1) · (3 − 1) = 2.
6. Vrednost p. Pri 2 stopinjah prostosti je p = 0,012. V tabelah porazdelitve χ² je pri 5 % tveganju za 2 stopinji prostosti kritična meja 5,99. Naš χ² = 8,87 jo presega, zato ničelno hipotezo zavrneš. O tem, kaj p pomeni, piše članek Kaj je p vrednost.
7. Moč povezanosti. McHugh opozori, da je hi kvadrat test značilnosti in da mu mora slediti mera moči povezanosti, najpogosteje Cramérjev V. Računaš ga kot V = √(χ² / (n · (k − 1))), kjer je k manjše od števila vrstic in števila stolpcev: √(8,87 / (200 · 1)) = 0,21. McHugh V razlaga kot korelacijo in v svojem primeru oceni vrednost 0,26 kot šibko povezavo.
8. Kje je razlika. Celice z največjim prispevkom (2,78) so pri javnem prevozu: žensk je 46, pričakovanih 36, moških 26, pričakovanih 36. McHugh razlaga, da se vrednost celice pod 1,0 ujema s pričakovano, zato pri celicah za peš ali kolo (0,33) razlike ni.
Zapisano z besedami: v tem izmišljenem vzorcu ženske pogosteje prihajajo z javnim prevozom, moški z avtom.
Preizkus prileganja: kratek primer
Izmišljen primer: v populaciji je 60 % žensk in 40 % moških. V vzorcu 120 študentov je 84 žensk in 36 moških. Pričakovani frekvenci sta 72 in 48. χ² = (84 − 72)² / 72 + (36 − 48)² / 48 = 2 + 3 = 5,00, pri 1 stopinji prostosti p = 0,025. Vzorec se torej po spolu razlikuje od populacije.
Kako zapišeš rezultat v nalogi
Navedeš test, zakaj si ga izbral, preverjen pogoj, vrednost χ², stopinje prostosti, p in moč povezanosti. Izmišljen primer:
Povezanost med spolom in načinom prihoda na fakulteto smo preverili s preizkusom hi kvadrat. Najmanjša pričakovana frekvenca je bila 27. Povezava je statistično značilna, χ²(2, N = 200) = 8,87, p = 0,012, Cramérjev V = 0,21. Ženske so pogosteje prihajale z javnim prevozom kot pričakovano (46 namesto 36).
Zapis rezultatov se razlikuje med fakultetami in mentorji, zato ga uskladi z navodili svoje. Vir testa dodaš v literaturo, generator citatov ti pomaga pri zapisu. Če je velikost vzorca odprto vprašanje, glej članek o velikosti vzorca.
Pogoste napake
- Odstotki namesto frekvenc. Test računaš iz števil enot, ne iz deležev.
- Isti ljudje večkrat. Meritve pred in po pri istih osebah niso neodvisne skupine.
- Premajhne pričakovane frekvence. McHugh opiše, da lahko uporaba testa ob kršitvi pogojev da enak rezultat, spregleda pravo razliko ali pokaže razliko, ki je ni.
- Preveč kategorij. McHugh pove, da več kot 20 celic oteži izpolnitev pogoja in razlago.
- Značilno ni isto kot pomembno. McHugh opozori, da statistična značilnost ne pomeni nujno tudi vsebinske pomembnosti.
- Ni mere moči. Samo p ne pove, kako močna je povezava.
Viri
- McHugh, M. L. (2013). The Chi-square test of independence. Biochemia Medica, 23(2), 143 do 149. https://doi.org/10.11613/BM.2013.018, prosto dostopno na PMC
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.5.15 Chi-Square Goodness-of-Fit Test. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda35f.htm
- Farmacevtska fakulteta Univerze v Ljubljani. Predstavitev 4. vaje, 2009/2010 (slovenska terminologija: ničelna hipoteza, kontingenčna tabela, stopinje prostosti). https://www.ffa.uni-lj.si/fileadmin/homedirs/12/d-Farmacevtska_informatika/4.vaja-_predstavitev_2009-2010.pdf