T-test (v nekaterih slovenskih priročnikih t-preizkus) je preizkus, ki primerja povprečji dveh skupin in pove, ali je razlika med njima večja, kot bi jo pričakovali po naključju. T-test za neodvisna vzorca uporabiš, kadar primerjaš dve različni skupini, na primer moške in ženske. T-test za odvisna (parna) vzorca uporabiš, kadar isti ljudje prispevajo dve meritvi, na primer pred in po poučevanju. Spodaj je za vsakega preračunan primer, nato pogoji, zapis v nalogi in napake.
Test lahko izračunaš tudi v brezplačnem kalkulatorju t-test za neodvisna in odvisna vzorca, z Levenovim preizkusom in stavkom za nalogo. Odpre se s primeroma iz tega članka.
Katerega t-testa potrebuješ
NIST loči podatke, ki so parni, in tiste, ki niso: parni pomenijo, da vsaki vrednosti v prvem vzorcu ustreza natanko ena vrednost v drugem, in izračunajo se razlike med pari.
| Neodvisna vzorca | Odvisna (parna) vzorca | |
|---|---|---|
| Kaj primerjaš | Dve različni skupini | Dve meritvi istih enot |
| Primer | Točke študentov z gradivom in brez njega | Isti študenti pred in po poučevanju |
| Ničelna hipoteza | Povprečji skupin sta enaki | Povprečna razlika je 0 |
| Število enot | Skupini sta lahko različno veliki | Število parov je enako v obeh meritvah |
Kim (2015) pojasni, da je t-test za odvisna vzorca v bistvu t-test za en vzorec, in sicer za razlike med meritvama. To je pomembno pri napakah, ki so opisane spodaj.
Pogoji za t-test
Kim (2015) navaja tri pogoje: normalno porazdelitev, enakost varianc in neodvisnost opazovanj. Preverjanje po njem poteka takole:
- Normalnost: Shapiro-Wilkov ali Kolmogorov-Smirnovljev preizkus. Pri odvisnih vzorcih preveriš normalnost razlik.
- Enakost varianc: Levenov ali Bartlettov preizkus.
- Če normalnost ne drži: uporabiš Mann-Whitneyjev U-test (neodvisna vzorca) ali Wilcoxonov test predznačenih rangov (odvisna vzorca).
- Če enakost varianc ne drži: uporabiš Welchev test, ki uporablja drugačno število stopinj prostosti, ali neparametrični test.
Kim opozori, da nekateri strokovnjaki trdijo, da je t-test dovolj robusten tudi pri kršeni normalnosti, vendar da ostaja to sporno. Zato naj raziskovalec pogoje preveri in zapiše, kaj je naredil.
Če pri Likertovi lestvici razmišljaš, ali je t-test sploh smiselen, preberi razdelek o analizi v članku o Likertovi lestvici.
Primer 1: t-test za neodvisna vzorca
Izmišljen primer: v skupini A je 12 študentov, ki so se učili z dodatnim gradivom, v skupini B pa 12 študentov brez njega. Primerjaš točke na izpitu.
- Skupina A: 68, 72, 75, 64, 80, 71, 69, 77, 73, 66, 74, 70
- Skupina B: 62, 65, 70, 58, 72, 66, 63, 69, 61, 64, 67, 60
Hipotezi. H₀: povprečji sta enaki (μ₁ = μ₂). H₁: povprečji se razlikujeta.
1. Opisna statistika.
| Skupina | n | Povprečje | Standardni odklon |
|---|---|---|---|
| A | 12 | 71,58 | 4,58 |
| B | 12 | 64,75 | 4,25 |
Razlika povprečij je 71,58 − 64,75 = 6,83.
2. Preveri pogoje. Shapiro-Wilkov preizkus v nobeni skupini ne zavrne normalnosti (p > 0,05), Levenov preizkus ne zavrne enakosti varianc (p = 0,87).
3. Združeni standardni odklon (angleško pooled), ker varianci veljata za enaki (NIST):
s² = ((n₁ − 1) · s₁² + (n₂ − 1) · s₂²) / (n₁ + n₂ − 2) = (11 · 20,99 + 11 · 18,02) / 22 = 19,51, torej s = 4,42.
4. Standardna napaka razlike: 4,42 · √(1/12 + 1/12) = 1,80.
5. Statistika t = 6,83 / 1,80 = 3,79.
6. Stopinje prostosti: n₁ + n₂ − 2 = 22.
7. Vrednost p je 0,001. Pri 22 stopinjah prostosti je kritična vrednost t-porazdelitve za dvostranski preizkus pri 5 % tveganju 2,07, zato je |t| = 3,79 večji od nje in H₀ zavrneš.
8. 95 % interval zaupanja za razliko: od 3,09 do 10,57 točke.
Če se varianci razlikujeta, uporabiš Welchev test. Pri teh podatkih je t enak (3,79), stopinj prostosti pa 21,87 in p = 0,001.
Primer 2: t-test za odvisna vzorca
Izmišljen primer: 10 študentov je pred poučevanjem in po njem rešilo isti preizkus znanja. Primerjaš meritvi pri istih študentih.
| Študent | Pred | Po | Razlika (po − pred) |
|---|---|---|---|
| 1 | 12 | 14 | 2 |
| 2 | 15 | 18 | 3 |
| 3 | 11 | 12 | 1 |
| 4 | 14 | 18 | 4 |
| 5 | 13 | 15 | 2 |
| 6 | 16 | 19 | 3 |
| 7 | 10 | 10 | 0 |
| 8 | 12 | 14 | 2 |
| 9 | 14 | 17 | 3 |
| 10 | 13 | 14 | 1 |
H₀: povprečna razlika je 0.
- Povprečje razlik d̄ = 2,1, standardni odklon razlik s_d = 1,20.
- Preveri normalnost razlik, ne obeh meritev (Kim): Shapiro-Wilkov p = 0,69, normalnosti ne zavrneš.
- Standardna napaka = s_d / √n = 1,20 / √10 = 0,38.
- t = d̄ / standardna napaka = 2,1 / 0,38 = 5,55.
- Stopinje prostosti: n − 1 = 9.
- p = 0,0004, torej p < 0,001. Kritična vrednost pri 9 stopinjah prostosti je 2,26.
- 95 % interval zaupanja za povprečno razliko: od 1,24 do 2,96 točke.
Neparametrična rešitev, Wilcoxonov test, da pri teh podatkih p = 0,004, kar je isti sklep.
Kaj bi bilo narobe. Če bi iste podatke napačno obravnaval kot dve neodvisni skupini, bi dobil t = 1,95 in p = 0,068, torej bi razlike ne našel. Kim pojasni razlog: če je korelacija med meritvama pozitivna, je imenovalec manjši in je test močnejši. Tu je korelacija 0,97.
Kako zapišeš rezultat v nalogi
Navedeš test, povprečja in standardne odklone obeh skupin, t, stopinje prostosti, p in razliko z intervalom zaupanja. Izmišljen primer:
Skupina z dodatnim gradivom je dosegla v povprečju 71,58 točke (SD = 4,58), skupina brez gradiva 64,75 točke (SD = 4,25). Pogoja normalnosti in enakosti varianc sta bila izpolnjena (Shapiro-Wilkov preizkus, Levenov preizkus). T-test za neodvisna vzorca je pokazal statistično značilno razliko, t(22) = 3,79, p = 0,001, razlika povprečij 6,83 točke (95 % interval zaupanja od 3,09 do 10,57).
Kaj pomeni »statistično značilno«, je razloženo v članku Kaj je p vrednost. Zapis rezultatov uskladi z navodili svoje fakultete in z mentorjem. Hipotezo, ki jo testiraš, zapišeš po navodilih za hipoteze in raziskovalna vprašanja, pogoje za velikost vzorca pa razloži članek o velikosti vzorca. Če primerjaš opisne kategorije in ne povprečij, potrebuješ hi kvadrat test. Pregled, kdaj izbereš kateri test, je v članku Kvantitativna metoda raziskovanja.
Pogoste napake
- Neodvisni test za parne podatke. Kot kaže primer 2, lahko spregledaš pravo razliko.
- Normalnost preverjaš pri napačnih podatkih. Pri odvisnih vzorcih preveri razlike.
- Povprečje in t brez standardnih odklonov ali brez velikosti vzorca.
- Pogoji niso preverjeni. Kim opozori, da bodo uredniki kritični do raziskovalcev, ki osnovnih pogojev ne preverijo.
- Več kot dve skupini. T-test primerja dve povprečji; za več skupin potrebuješ drug test (analiza variance), ki ga omenja članek o kvantitativni metodi.
- Ena vrednost p brez razlike. Navedi tudi velikost razlike.
Viri
- Kim, T. K. (2015). T test as a parametric statistic. Korean Journal of Anesthesiology, 68(6), 540 do 546. https://doi.org/10.4097/kjae.2015.68.6.540, prosto dostopno na PMC
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.5.3 Two-Sample t-Test for Equal Means. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda353.htm
- Farmacevtska fakulteta Univerze v Ljubljani. Predstavitev 4. vaje, 2009/2010 (slovenska terminologija: ničelna hipoteza, stopnja tveganja, T-test). https://www.ffa.uni-lj.si/fileadmin/homedirs/12/d-Farmacevtska_informatika/4.vaja-_predstavitev_2009-2010.pdf